隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和大數(shù)據(jù)的不斷發(fā)展，圖論分析的方法和工具也在不斷更新和完善。未來(lái)，我們期待圖論分析在更多領(lǐng)域得到應(yīng)用，為人類社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步做出更大的貢獻(xiàn)。
圖論是近幾年發(fā)展相對(duì)迅速的一個(gè)專業(yè)，由于計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，帶動(dòng)了圖論的發(fā)展。圖的染色理論，超圖，其中有著名的四色猜想等等。
圖論相對(duì)來(lái)說(shuō)自學(xué)起來(lái)比較容易，但是關(guān)鍵要看自己，因?yàn)閳D論及其應(yīng)用這個(gè)方向用到其他的數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較少，但還是會(huì)用到。給你推薦幾本圖論書(shū)：《Graph Theory with Application》U.S.R.Murty 和 J.A.Bondy寫(xiě)的，是圖論書(shū)中的經(jīng)典，只要你自己把這本書(shū)能學(xué)好。
還有2008年新出了一本《Graph Theory》也是上面的這兩位作者，很不錯(cuò)的，還有一本《Modern Graph Theory》。不過(guò)第一本書(shū)也中文版的。 如果需要的話可以聯(lián)系我，我?guī)湍恪? 祝你成功。
圖論是數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支，專門(mén)研究圖與圖之間的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)和算法等相關(guān)問(wèn)題。圖（Graph）是由一些點(diǎn)（Vertex）和一些邊（Edge）組成的結(jié)構(gòu)，它可以用來(lái)描述各類實(shí)際問(wèn)題中的關(guān)系和聯(lián)系，比如社交網(wǎng)絡(luò)中人與人之間的關(guān)系、電路中電路元件之間的連接、城市之間道路的連接等等。在圖論中，點(diǎn)通常被稱為頂點(diǎn)，邊通常被稱為邊緣。
圖論主要研究以下幾個(gè)方面：
1. 圖的基本概念和表示方法：包括無(wú)向圖、有向圖、帶權(quán)圖等。
2. 圖的性質(zhì)：如連通性、完備性、歐拉性質(zhì)、哈密頓性質(zhì)等。
3. 圖的遍歷算法：如深度優(yōu)先搜索（DFS）、廣度優(yōu)先搜索（BFS）等。
4. 最短路徑算法：如迪杰斯特拉算法（Dijkstra）和弗洛伊德算法（Floyd）等。
5. 最小生成樹(shù)算法：如Prim算法和Kruskal算法等。
6. 網(wǎng)絡(luò)流算法：如最大流和最小割問(wèn)題等。
圖論在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、生物信息學(xué)、社交網(wǎng)絡(luò)、城市規(guī)劃等等。
我覺(jué)得完全可以零基礎(chǔ)入門(mén)，很多內(nèi)容并未要求額外的知識(shí)能力。
我自己證明過(guò)的定理中，有些證明非常長(zhǎng)，但其實(shí)就是反證加歸納，只不過(guò)可能嵌套幾層，看上去很復(fù)雜。
著名如七橋問(wèn)題的證明，好像也是除了推理再無(wú)其他，并無(wú)中學(xué)以上的知識(shí)點(diǎn)。
我認(rèn)為只需邏輯思維過(guò)硬，靜得下心，就可以學(xué)好圖論。
另一方面，圖論研究數(shù)學(xué)對(duì)象及其關(guān)系，這樣的定位使得圖論和整個(gè)數(shù)學(xué)都扯得上關(guān)系。因此如果要深入，代數(shù)幾何拓?fù)浣M合都需要一定了解。
為世界建模的最重要的一個(gè)原則為抽象，而圖是一種重要的抽象對(duì)象。
舉個(gè)例子，城市街道那么復(fù)雜，但是路徑規(guī)劃卻只關(guān)心連通性，而不關(guān)心具體的位置，而圖就起到了編碼連通性的作用。
圖論是研究邊和點(diǎn)的連接結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論。
圖論中的圖是由若干給定的點(diǎn)及連接兩點(diǎn)的線所構(gòu)成的圖形，這種圖形通常用來(lái)描述某些事物之間的某種特定關(guān)系，用點(diǎn)代表事物，用連接兩點(diǎn)的線表示相應(yīng)兩個(gè)事物間具有這種關(guān)系。
圖論起源于一個(gè)非常經(jīng)典的問(wèn)題——柯尼斯堡問(wèn)題。
1738年，瑞典數(shù)學(xué)家歐拉解決了柯尼斯堡問(wèn)題。由此圖論誕生。歐拉也成為圖論的創(chuàng)始人。
1859年，英國(guó)數(shù)學(xué)家漢密爾頓發(fā)明了一種游戲：
用一個(gè)規(guī)則的實(shí)心十二面體，它的20個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)出世界著名的20個(gè)城市，要求游戲者找一條沿著各邊通過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)剛好一次的閉回路，即“繞行世界”。
用圖論的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，游戲的目的是在十二面體的圖中找出一個(gè)生成圈。這個(gè)生成圈后來(lái)被稱為漢密爾頓回路。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)就叫做漢密爾頓問(wèn)題。
由于運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和編碼理論中的很多問(wèn)題都可以化為漢密爾頓問(wèn)題，從而引起廣泛的注意和研究。
圖論基礎(chǔ)知識(shí)較復(fù)雜，對(duì)于初學(xué)者而言，需要較多的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，因此在此我認(rèn)為基礎(chǔ)知識(shí)并不容易掌握。首先，圖是一種具有節(jié)點(diǎn)和邊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在圖論中有許多常用的概念，如連通圖、生成樹(shù)、最短路徑等。其次，圖的應(yīng)用非常廣泛，例如社交網(wǎng)絡(luò)中第N度好友問(wèn)題的解決、路網(wǎng)的規(guī)劃等都需要使用到圖論。此外，在學(xué)習(xí)圖論的過(guò)程中，需要了解多種算法，如廣度優(yōu)先搜索算法、深度優(yōu)先搜索算法等，這些算法可以應(yīng)用到許多領(lǐng)域。綜上所述，圖論基礎(chǔ)知識(shí)需要較長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，但其應(yīng)用范圍廣泛，所以對(duì)于想深入了解計(jì)算機(jī)科學(xué)或其他相關(guān)領(lǐng)域的人而言，學(xué)習(xí)圖論是十分必要和重要的。
寫(xiě)心電圖論文需要遵循學(xué)術(shù)論文的一般結(jié)構(gòu)，包括摘要、引言、方法、結(jié)果、討論和參考文獻(xiàn)等部分。以下是一個(gè)心電圖論文的寫(xiě)作步驟參考：
1. 摘要：在摘要中，簡(jiǎn)要介紹研究的背景、目的、方法、結(jié)果和結(jié)論。摘要應(yīng)該在一頁(yè)內(nèi)，簡(jiǎn)明扼要地說(shuō)明研究的主要內(nèi)容和結(jié)論。
2. 引言：在引言中，介紹研究的背景和目的，闡述研究的重要性和意義，并提出研究問(wèn)題。引言應(yīng)該清楚地闡述研究的背景和目的，吸引讀者的興趣。
3. 方法：在方法中，詳細(xì)描述研究的設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)分析方法。需要說(shuō)明采集的數(shù)據(jù)類型、采集方式、數(shù)據(jù)處理方法等。
4. 結(jié)果：在結(jié)果中，呈現(xiàn)研究的主要數(shù)據(jù)和結(jié)果，可以通過(guò)圖表、表格等形式展示。描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析和結(jié)果的顯著性。
5. 討論：在討論中，對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行解釋和分析，總結(jié)研究的主要結(jié)論并提出建議。需要討論結(jié)果的實(shí)際意義、限制和未來(lái)研究方向。
6. 參考文獻(xiàn)：列出所有引用的文獻(xiàn)，按照規(guī)定格式排版。
需要注意的是，心電圖論文的寫(xiě)作需要嚴(yán)格遵守學(xué)術(shù)規(guī)范，避免抄襲和不當(dāng)引用。同時(shí)，需要使用科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言，清晰明了地表達(dá)研究?jī)?nèi)容和結(jié)論。
Konig定理
首先，為什么這樣得到的點(diǎn)集點(diǎn)的個(gè)數(shù)恰好有M個(gè)呢？其次，為什么這樣得到的點(diǎn)集可以覆蓋所有的邊呢？最后，為什么這是最小的點(diǎn)覆蓋集呢？
Konig定理
這是圖論中很重要的一個(gè)定理，于1913年 由匈牙利數(shù)學(xué)家柯尼希（D.Konig）首先陳述此定理。
定理的內(nèi)容是：在0-1矩陣中，1的最大獨(dú)立集合最小覆蓋包含的元素個(gè)數(shù)相同，等價(jià)地，二分圖中的最大匹配數(shù)等于這個(gè)圖中的最小點(diǎn)覆蓋數(shù)。
證明
假如我們已經(jīng)通過(guò)匈牙利算法求出了最大匹配（假設(shè)它等于M），下面給出的方法可以告訴我們，選哪M個(gè)點(diǎn)可以覆蓋所有的邊。
匈牙利算法需要我們從右邊的某個(gè)沒(méi)有匹配的點(diǎn)，走出一條使得“一條沒(méi)被匹配、一條已經(jīng)匹配過(guò)，再下一條又沒(méi)匹配這樣交替地出現(xiàn)”的路（交錯(cuò)軌，增廣路）。但是，現(xiàn)在我們已經(jīng)找到了最大匹配，已經(jīng)不存在這樣的路了。換句話說(shuō)，我們能尋找到很多可能的增廣路，但最后都以找不到“終點(diǎn)是還沒(méi)有匹配過(guò)的點(diǎn)”而失敗。我們給所有這樣的點(diǎn)打上記號(hào)：從右邊的所有沒(méi)有匹配過(guò)的點(diǎn)出發(fā)，按照增廣路的“交替出現(xiàn)”的要求可以走到的所有點(diǎn)（最后走出的路徑是很多條不完整的增廣路）。那么這些點(diǎn)組成了最小覆蓋點(diǎn)集。
首先，為什么這樣得到的點(diǎn)集點(diǎn)的個(gè)數(shù)恰好有M個(gè)呢？答案很簡(jiǎn)單，因?yàn)槊總€(gè)點(diǎn)都是某個(gè)匹配邊的其中一個(gè)端點(diǎn)。如果右邊的哪個(gè)點(diǎn)是沒(méi)有匹配過(guò)的，那么它早就當(dāng)成起點(diǎn)被標(biāo)記了；如果左邊的哪個(gè)點(diǎn)是沒(méi)有匹配過(guò)的，那就走不到它那里去（否則就找到了一條完整的增廣路）。而一個(gè)匹配邊又不可能左端點(diǎn)是標(biāo)記了的，同時(shí)右端點(diǎn)是沒(méi)標(biāo)記的（不然的話右邊的點(diǎn)就可以經(jīng)過(guò)這條邊到達(dá)了）。因此，最后我們?nèi)ζ饋?lái)的點(diǎn)與匹配邊一一對(duì)應(yīng)。
其次，為什么這樣得到的點(diǎn)集可以覆蓋所有的邊呢？答案同樣簡(jiǎn)單。不可能存在某一條邊，它的左端點(diǎn)是沒(méi)有標(biāo)記的，而右端點(diǎn)是有標(biāo)記的。原因如下：如果這條邊不屬于我們的匹配邊，那么左端點(diǎn)就可以通過(guò)這條邊到達(dá)（從而得到標(biāo)記）；如果這條邊屬于我們的匹配邊，那么右端點(diǎn)不可能是一條路徑的起點(diǎn)，于是它的標(biāo)記只能是從這條邊的左端點(diǎn)過(guò)來(lái)的（想想匹配的定義），左端點(diǎn)就應(yīng)該有標(biāo)記。
最后，為什么這是最小的點(diǎn)覆蓋集呢？這當(dāng)然是最小的，不可能有比M還小的點(diǎn)覆蓋集了，因?yàn)橐采w這M條匹配邊至少就需要M個(gè)點(diǎn)（再次回到匹配的定義）。
對(duì)兩側(cè)添加源匯點(diǎn)后可以從最小割最大流的角度理解。
在原圖上對(duì)所有的邊的左結(jié)點(diǎn)和右結(jié)點(diǎn)連一條容量無(wú)窮大的流（從左結(jié)點(diǎn)到右結(jié)點(diǎn)），然后再添加源匯頂點(diǎn)，對(duì)源點(diǎn)到每個(gè)左頂點(diǎn)添加容量為1的流，對(duì)每個(gè)右頂點(diǎn)到匯點(diǎn)添加容量為1的流。
易知，最大流即為最大匹配數(shù)。
我們來(lái)研究所有的割，我們將所有左頂點(diǎn)劃為A1,A2兩部分，右頂點(diǎn)劃為B1,B2兩部分，并研究從S并A1并B2到T并A2并B1這個(gè)割的最小取法（這個(gè)劃分方式包含了所有可能的割），如若左頂點(diǎn)P到右頂點(diǎn)Q有邊，那么最小割中顯然不會(huì)有“P屬于A1且Q屬于B1”成立（否則就這一條邊割出來(lái)就是無(wú)窮大，肯定不是最小割），于是最小割中所有的邊PQ必滿足“P屬于A2或Q屬于B2”，換句話說(shuō)，A2，B2中所有頂點(diǎn)組成這個(gè)二分圖的一個(gè)點(diǎn)集覆蓋。
下面觀察，我們易知，再最小割中，總的割必然等于S到A2的+B2到T的（這些是最小割中所有可能的邊了）。而S到A2+B2到T就是A2，B2中所有頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)總和，所以最小割就是滿足題意（A2并B2構(gòu)成最小點(diǎn)集覆蓋）的A2并B2中頂點(diǎn)最少的情況，亦即最小點(diǎn)集覆蓋，于是乎：
最大匹配數(shù)=最大流=最小割=最小點(diǎn)集覆蓋
運(yùn)籌相關(guān)
數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)等數(shù)學(xué)專業(yè)必修，同時(shí)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、電子科學(xué) 與技術(shù)、信息科學(xué)與網(wǎng)絡(luò)工程、自動(dòng)控制、過(guò)程工程、物流與交通運(yùn)輸、 資源與環(huán)境以及化學(xué)、生物與生命科學(xué)、管理科學(xué)與工程、社會(huì)學(xué)等學(xué)科專業(yè)也可選修，很多網(wǎng)絡(luò)物流相關(guān)的也需要了解一些。
主要講述圖論與網(wǎng)絡(luò)流理論的基本概念、方法和定理，介紹圖論的重要問(wèn)題以及典型的算法，展示圖論與網(wǎng)絡(luò)流模型及方法的廣 泛應(yīng)用。主要包括圖的基本概念、最短路及最小生成樹(shù)、連通性、 匹配、歐拉圖、哈密爾頓圖、支配集、獨(dú)立集、覆蓋集、圖的染色、平面圖、有向圖、網(wǎng)絡(luò)流等方面的理論與算法。
我們用的參考書(shū)：
